微分積分例

$f (x) = x^{8} \sqrt{5 - 3 x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 - 3 x}$ を ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 5 - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 - 3 x$ とします。

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 - 3 x$ で置き換えます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{8} (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$x^{8} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{8}$ をまとめます。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 9

総和則では、 $5 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 10

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ をたし算します。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 12

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$- 3$ と $\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 13.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 16

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (8 x^{7})$

ステップ 17

並べ替えます。

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ステップ 17.1

$8$ を ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} x^{7}$

ステップ 17.2

${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 18

$8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

$8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 x^{8} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

指数を足して ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 22.1

${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} ({(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

$16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x + 5)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24

簡約します。

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ステップ 24.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2

分子を簡約します。

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ステップ 24.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 24.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{7} x + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.2

指数を足して $x^{7}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 24.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x \cdot x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.2.2

$x$ に $x^{7}$ をかけます。

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ステップ 24.2.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x^{1} x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{1 + 7} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.2.3

$1$ と $7$ をたし算します。

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.3

$16$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.1.4

$5$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.2.2

$- 3 x^{8}$ から $48 x^{8}$ を引きます。

$\frac{- 51 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.3

$x^{7}$ を $- 51 x^{8} + 80 x^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 24.3.1

$x^{7}$ を $- 51 x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (- 51 x) + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.3.2

$x^{7}$ を $80 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.3.3

$x^{7}$ を $x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (- 51 x + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.4

$- 1$ を $- 51 x$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (- (51 x) + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.5

$80$ を $- 1 (- 80)$ に書き換えます。

$\frac{x^{7} (- (51 x) - 1 (- 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.6

$- 1$ を $- (51 x) - 1 (- 80)$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} (- (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.7

$- (51 x - 80)$ を $- 1 (51 x - 80)$ に書き換えます。

$\frac{x^{7} (- 1 (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 24.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{7} (51 x - 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例