微分積分例

$f (x) = \sin (x) \ln (5 x)$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\sin (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\sin (x) (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{5 x}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sin (x)}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ と $\frac{\sin (x)}{5 x}$ をまとめます。

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sin (x)}{5 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\sin (x)}{x} \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3.5

$\frac{\sin (x)}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (5 x) \cos (x)$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$\cos (x) \ln (5 x) + \frac{\sin (x)}{x}$

微分積分 例

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