微分積分例

$f (x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{\sqrt[3]{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.4

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{3}}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.4.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.6

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.6.2

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.10.2

$1$ から $3$ を引きます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.11

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.12

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.13

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.14

指数を足して $x^{- \frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 2.14.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.14.2

公分母の分子をまとめます。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.14.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.14.4

分数の前に負数を移動させます。

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.16

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.17

$- 2$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 2.18

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 3 (- \sin (x))$

ステップ 3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} - 3 \sin (x)$

微分積分 例

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