微分積分例

$f (x) = {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 6 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 x - 2$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $6 x - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

ステップ 7

総和則では、 $6 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 8

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 10

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 11

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

ステップ 12

項を簡約します。

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ステップ 12.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

ステップ 12.2

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12.3

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13

共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{{(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例