微分積分例

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

ステップ 1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{7}] + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.4.2

$7$ に $1$ をかけます。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3.5

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

ステップ 3.6

$8$ を ${(x - 1)}^{7}$ の左に移動させます。

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 1)}^{7} x^{7}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ で因数分解します。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

ステップ 4.1.2

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ で因数分解します。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

ステップ 4.1.3

$x^{7} {(x - 1)}^{6}$ を $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ で因数分解します。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

ステップ 4.2

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

微分積分 例

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