微分積分例

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{x^{2}} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{x^{2}} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

ステップ 4.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

ステップ 4.3.2

$e^{x^{2}}$ と $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

ステップ 4.3.4

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2 e^{x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

ステップ 5.3

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

微分積分 例

微分積分例