微分積分例

$e^{x} - e^{y} = x - y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} - e^{y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{y}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x} - e^{y} y'$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$- e^{y} y' + e^{x}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 - y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$- e^{y} y' + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $y'$ を足します。

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $e^{x}$ を引きます。

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

ステップ 5.4

$y'$ を $- y' e^{y} + y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $- y' e^{y}$ で因数分解します。

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

ステップ 5.4.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

ステップ 5.4.4

$y'$ を $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

ステップ 5.5

$- 1 e^{y}$ を $- e^{y}$ に書き換えます。

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

ステップ 5.6

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ の各項を $- e^{y} + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.1

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ の各項を $- e^{y} + 1$ で割ります。

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

ステップ 5.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$- e^{y} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

ステップ 5.6.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

ステップ 5.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

ステップ 5.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

ステップ 5.6.3.3

$- 1$ を $- e^{y}$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

ステップ 5.6.3.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

ステップ 5.6.3.5

$- 1$ を $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

ステップ 5.6.3.6

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.6.3.6.1

$- (e^{y} - 1)$ を $- 1 (e^{y} - 1)$ に書き換えます。

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

ステップ 5.6.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

微分積分 例

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