微分積分例

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{4}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $- 8$ をかけます。

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$10 y y' - 32 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$10 y y' - 32 x^{3}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $32 x^{3}$ を足します。

$10 y y' = 32 x^{3}$

ステップ 5.2

$10 y y' = 32 x^{3}$ の各項を $10 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$10 y y' = 32 x^{3}$ の各項を $10 y$ で割ります。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$32$ と $10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $32 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $10 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

微分積分 例

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