微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 2 x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 3.6

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ を移動させます。

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 5

$4$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

ステップ 7

$4$ を $2 x^{2} - 1$ の左に移動させます。

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4

項をまとめます。

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ステップ 8.4.1

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 8.4.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.4

$8$ に $3$ をかけます。

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

ステップ 8.4.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

ステップ 8.4.6

$- 4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

ステップ 8.4.7

$12 x^{5}$ と $24 x^{5}$ をたし算します。

$36 x^{5} - 12 x^{3}$

微分積分 例

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