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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
分子と分母の極限値を求めます。
ステップ 1.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 1.1.2
分子の極限値を求めます。
ステップ 1.1.2.1
極限を求めます。
ステップ 1.1.2.1.1
極限べき乗則を利用して、指数をから極限値外側に移動させます。
ステップ 1.1.2.1.2
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 1.1.2.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.2.3
答えを簡約します。
ステップ 1.1.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 1.1.2.3.2
を正数乗し、を得ます。
ステップ 1.1.3
分母の極限値を求めます。
ステップ 1.1.3.1
極限べき乗則を利用して、指数をから極限値外側に移動させます。
ステップ 1.1.3.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.3.3
を正数乗し、を得ます。
ステップ 1.1.3.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 1.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 1.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 1.3
分子と分母の微分係数を求めます。
ステップ 1.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 1.3.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 1.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 1.3.2.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3.3
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3.4
簡約します。
ステップ 1.3.4.1
の因数を並べ替えます。
ステップ 1.3.4.2
とを並べ替えます。
ステップ 1.3.4.3
とを並べ替えます。
ステップ 1.3.4.4
正弦2倍角の公式を当てはめます。
ステップ 1.3.5
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 3
ステップ 3.1
分子と分母の極限値を求めます。
ステップ 3.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 3.1.2
分子の極限値を求めます。
ステップ 3.1.2.1
極限を求めます。
ステップ 3.1.2.1.1
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 3.1.2.1.2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 3.1.2.2
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 3.1.2.3
答えを簡約します。
ステップ 3.1.2.3.1
にをかけます。
ステップ 3.1.2.3.2
の厳密値はです。
ステップ 3.1.3
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 3.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 3.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 3.3
分子と分母の微分係数を求めます。
ステップ 3.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 3.3.2
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 3.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 3.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 3.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 3.3.3
はに対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 3.3.4
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.3.5
にをかけます。
ステップ 3.3.6
をの左に移動させます。
ステップ 3.3.7
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.4
をで割ります。
ステップ 4
ステップ 4.1
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 4.2
余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 4.3
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5
をに代入し、の極限値を求めます。
ステップ 6
ステップ 6.1
の共通因数を約分します。
ステップ 6.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.1.2
式を書き換えます。
ステップ 6.2
にをかけます。
ステップ 6.3
にをかけます。
ステップ 6.4
の厳密値はです。