微分積分 例

極限を求める xが(sin(x)^2)/(x^2)の0に近づく極限
ステップ 1
ロピタルの定理を当てはめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
分子と分母の極限値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 1.1.2
分子の極限値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1
極限を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.1.1
極限べき乗則を利用して、指数から極限値外側に移動させます。
ステップ 1.1.2.1.2
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 1.1.2.2
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.2.3
答えを簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 1.1.2.3.2
を正数乗し、を得ます。
ステップ 1.1.3
分母の極限値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.1
極限べき乗則を利用して、指数から極限値外側に移動させます。
ステップ 1.1.3.2
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 1.1.3.3
を正数乗し、を得ます。
ステップ 1.1.3.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 1.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 1.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 1.3
分子と分母の微分係数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 1.3.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 1.3.2.2
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.3.3
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.3.4
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.4.1
の因数を並べ替えます。
ステップ 1.3.4.2
を並べ替えます。
ステップ 1.3.4.3
を並べ替えます。
ステップ 1.3.4.4
正弦2倍角の公式を当てはめます。
ステップ 1.3.5
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 3
ロピタルの定理を当てはめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1
分子と分母の極限値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.1
分子と分母の極限値をとります。
ステップ 3.1.2
分子の極限値を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.1
極限を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.1.1
正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 3.1.2.1.2
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 3.1.2.2
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 3.1.2.3
答えを簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.1.2.3.1
をかけます。
ステップ 3.1.2.3.2
の厳密値はです。
ステップ 3.1.3
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 3.1.4
による除算を含む式です。式は未定義です。
未定義
ステップ 3.2
は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。
ステップ 3.3
分子と分母の微分係数を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.1
分母と分子を微分します。
ステップ 3.3.2
およびのとき、であるという連鎖律を使って微分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 3.3.2.1
連鎖律を当てはめるために、とします。
ステップ 3.3.2.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 3.3.2.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 3.3.3
に対して定数なので、に対するの微分係数はです。
ステップ 3.3.4
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.3.5
をかけます。
ステップ 3.3.6
の左に移動させます。
ステップ 3.3.7
のとき、であるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 3.4
で割ります。
ステップ 4
極限を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 4.2
余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。
ステップ 4.3
の項はに対して一定なので、極限の外に移動させます。
ステップ 5
に代入し、の極限値を求めます。
ステップ 6
答えを簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 6.1.2
式を書き換えます。
ステップ 6.2
をかけます。
ステップ 6.3
をかけます。
ステップ 6.4
の厳密値はです。