微分積分例

$f (x) = e^{\frac{1}{4 x}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{4 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{4 x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{4 x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{1}{4 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$e^{\frac{1}{4 x}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{\frac{1}{4 x}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} (- x^{- 2})$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}} x^{- 2}}{4}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4 x^{2}}$

微分積分 例