微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $x^{2} - 9$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 5

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$3$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$3 x^{4}$ から $2 x^{4}$ を引きます。

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.4

$x^{2}$ を $x^{4} - 27 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$x^{2}$ を $- 27 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.4.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 6.5

分母を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

ステップ 6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

ステップ 6.5.3

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

微分積分 例

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