微分積分例

$f (x) = 10^{x \cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 10^{x}$ および $g (x) = x \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x \cos (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

ステップ 1.2

$a$ = $10$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x \cos (x)$ で置き換えます。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

ステップ 4.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x))) + 10^{x \cos (x)} \ln (10) \cos (x)$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$- 10^{x \cos (x)} x \sin (x) \ln (10) + 10^{x \cos (x)} \cos (x) \ln (10)$

微分積分 例

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