微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 7 x - 8$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 8] - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 7 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 x - 7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (2 x - 7)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x - 7) + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$- 7$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.4

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 7 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 5 x - 7 + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 5 x$ と $7 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 7$ と $8$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

${(x + 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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