微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.8

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.10

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.10.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2

$x$ を $x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ で因数分解します。

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ステップ 2.10.2.1

$x$ を $x^{2} (2 x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2.2

$x$ を $- 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

ステップ 2.10.2.3

$x$ を $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

ステップ 3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 4.3.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3}}$

ステップ 4.3.2

$2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 0 + 6 x - 2}{x^{3}}$

ステップ 4.3.2.2

$- 3 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{x^{3}}$

ステップ 4.3.3

$- 3 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{3 x - 2}{x^{3}}$

微分積分 例

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