微分積分例

$f (x) = \frac{(x + 5) (x^{2} + 5)}{x - 8}$

ステップ 1

$f (x) = (x + 5) (x^{2} + 5)$ および $g (x) = x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [(x + 5) (x^{2} + 5)] - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x + 5$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $x + 5$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 8) (2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + 0)) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) \cdot 1) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$x^{2} + 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.9

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.12.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 8) ((2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{(x - 8) (2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.1.2

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 10 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5)$ を展開します。

$\frac{x (3 x^{2}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 (x^{2} x) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.4.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.5

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 \cdot x - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.6

$3$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.7

$10$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4.8

$- 8$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.5

$10 x^{2}$ から $24 x^{2}$ を引きます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 5 x - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.6

$5 x$ から $80 x$ を引きます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.7

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.8

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 5) (x^{2} + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x (x^{2} + 5) - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.9.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.9.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.9.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{2 + 1} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.9.3

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$- 14 x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.4

$- 75 x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 40 - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

ステップ 4.4.5

$- 40$ から $25$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 65}{{(x - 8)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例