微分積分例

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

ステップ 1

$f (x) = 6 x + 5$ および $g (x) = x^{3} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2.4.2

$3$ を $6 x + 5$ の左に移動させます。

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

ステップ 2.5

総和則では、 $6 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.6

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.8

$6$ に $1$ をかけます。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 2.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$6$ と $0$ をたし算します。

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

ステップ 2.10.2

$6$ を $x^{3} - 2$ の左に移動させます。

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4

項をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$6$ に $3$ をかけます。

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.3

$3$ に $5$ をかけます。

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

ステップ 3.4.4

$6$ に $- 2$ をかけます。

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

ステップ 3.4.5

$18 x^{3}$ と $6 x^{3}$ をたし算します。

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$

微分積分 例

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