微分積分例

$x^{5} \sin^{2} (3 x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \sin^{2} (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (3 x)$ とします。

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (3 x)$ で置き換えます。

$x^{5} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{5} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4.4

$6$ に $1$ をかけます。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 4.5

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) (5 x^{4})$

ステップ 4.6

項を並べ替えます。

$6 x^{5} \cos (3 x) \sin (3 x) + 5 x^{4} \sin^{2} (3 x)$

微分積分 例

微分積分例