微分積分例

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 2.5.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3.1.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.3.2

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5

$e^{x}$ を $- e^{x} x + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$e^{x}$ を $- e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5.2

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

ステップ 4.5.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (- x + 2)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

ステップ 4.6.2.4

$e^{- x} (- x + 2)$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} (- x + 2)$

ステップ 4.7

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

ステップ 4.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

ステップ 4.9

$2$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

ステップ 4.10

$- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$

微分積分 例

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