微分積分例

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

ステップ 1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$x^{2} + y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 9

$y$ と $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2.2

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$y$ を $y^{3} - x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.4.1.2

$y$ を $- x^{2} y$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.4.1.3

$y$ を $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

ステップ 10.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例