微分積分例

$10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$

ステップ 1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x {(x^{2} + 4)}^{4}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{4}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$10 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{4}] + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4$ とします。

$10 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4])) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$10 (x (4 {(x^{2} + 4)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$10 (x (8 {(x^{2} + 4)}^{3} x) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (x^{1} x (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$10 (x^{1} x^{1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$10 (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4} \cdot 1)$

ステップ 10

${(x^{2} + 4)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3}) + {(x^{2} + 4)}^{4})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$10 (x^{2} (8 {(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

ステップ 11.2

$8$ に $10$ をかけます。

$80 (x^{2} ({(x^{2} + 4)}^{3})) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

ステップ 11.3

$10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ を $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3} + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 11.3.1

$10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ を $80 x^{2} {(x^{2} + 4)}^{3}$ で因数分解します。

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{4}$

ステップ 11.3.2

$10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ を $10 {(x^{2} + 4)}^{4}$ で因数分解します。

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$

ステップ 11.3.3

$10 {(x^{2} + 4)}^{3}$ を $10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2}) + 10 {(x^{2} + 4)}^{3} (x^{2} + 4)$ で因数分解します。

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (8 x^{2} + x^{2} + 4)$

ステップ 11.4

$8 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$10 {(x^{2} + 4)}^{3} (9 x^{2} + 4)$

微分積分 例

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