微分積分例

$3 x - 5 \cos^{2} (π x)$

ステップ 1

総和則では、 $3 x - 5 \cos^{2} (π x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

ステップ 2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \cos^{2} (π x)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$ です。

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (π x)$ とします。

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (π x)$ で置き換えます。

$3 - 5 (2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

ステップ 3.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]))$

ステップ 3.3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]))$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]))$

ステップ 3.4

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \cdot 1)))$

ステップ 3.6

$π$ に $1$ をかけます。

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) π))$

ステップ 3.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 - 5 (- 2 \cos (π x) (\sin (π x) π))$

ステップ 3.8

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$3 + 10 \cos (π x) \sin (π x) π$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$10 π \cos (π x) \sin (π x) + 3$

微分積分 例

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