微分積分例

$\frac{x}{1 + x}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.7

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.7.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.7.3

式を簡約します。

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ステップ 2.7.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

ステップ 2.7.3.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例