微分積分例

$x^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 6 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 - x$ とします。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $6 - x$ で置き換えます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} {(6 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{{(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(6 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 7.4

$\frac{1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [6 - x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 8

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 9

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 13

分数をまとめます。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 13.2

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 13.3

式を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ を $x^{\frac{2}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 13.3.2

$- 1 x^{\frac{2}{3}}$ を $- x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 13.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 14

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 15

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 16

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 17

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 18

分子を簡約します。

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ステップ 18.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 18.2

$2$ から $3$ を引きます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 19

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 20

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 21

${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(6 - x)}^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 22

式を簡約します。

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ステップ 22.1

$2$ を ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 22.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 23

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 24

$\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ を掛けます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 25

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 25.1

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 25.2

$\frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ に $\frac{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 25.3

$3 {(6 - x)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 26

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 27

指数を足して $x^{\frac{2}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 27.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{- (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 27.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 27.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 27.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- x^{\frac{3}{3}} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 27.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{- x^{1} + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 28

$- x^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 29

指数を足して ${(6 - x)}^{\frac{1}{3}}$ に ${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 29.1

${(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$\frac{- x + 2 ({(6 - x)}^{\frac{2}{3}} {(6 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 29.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 29.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 29.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 29.5

$3$ を $3$ で割ります。

$\frac{- x + 2 {(6 - x)}^{1}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 30

$2 {(6 - x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- x + 2 (6 - x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31

簡約します。

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ステップ 31.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x + 2 \cdot 6 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.2

分子を簡約します。

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ステップ 31.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 31.2.1.1

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{- x + 12 + 2 (- x)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- x + 12 - 2 x}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.2.2

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 3 x + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.3

項をまとめます。

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ステップ 31.3.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 12}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.3.2

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x) + 3 \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.3.3

$3$ を $3 (- x) + 3 (4)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.3.4

共通因数を約分します。

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ステップ 31.3.4.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 31.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x + 4)}{3 (x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

ステップ 31.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- x + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.5

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.7

$- (x - 4)$ を $- 1 (x - 4)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 4)}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 31.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 4}{x^{\frac{1}{3}} {(6 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例