微分積分例

$\sqrt[3]{x} (x + 1)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2

項をまとめます。

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ステップ 11.2.1

$x$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

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ステップ 11.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.4

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.5

$x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.8

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 11.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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