微分積分例

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ を ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = 1 + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \tan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + \tan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{3}$ と ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

ステップ 7.3

総和則では、 $1 + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 7.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 8

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (x)$

ステップ 9

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (x)}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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