微分積分例

$\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ を $\frac{d}{d x} [x - 1]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

微分積分 例