微分積分例

$\sqrt{1 - x^{2}} \arcsin (x)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arcsin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \arcsin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 5.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

ステップ 10.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $\arcsin (x)$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 11

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 12

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 13

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 16

項を簡約します。

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ステップ 16.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 16.2

$- 2$ と $\frac{\arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 16.3

$\frac{- 2 \arcsin (x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- 2 \arcsin (x) x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.4

$2$ を $- 2 \arcsin (x) x$ で因数分解します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

共通因数を約分します。

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ステップ 17.1

$2$ を $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 (- \arcsin (x) x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.3

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{- \arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

$- \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 21.1

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ に $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.6.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.7

$\frac{\arcsin (x) x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 21.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 21.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

ステップ 21.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 21.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 21.12.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} - \frac{\arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 23

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 23.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 23.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 23.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 23.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{1} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 24

${(1 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 25

簡約します。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 26

簡約します。

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ステップ 26.1

分子を簡約します。

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ステップ 26.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 26.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{1^{2} - x^{2}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 26.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

ステップ 26.1.2

$1 - x^{2} - \arcsin (x) x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 - x^{2} - x \arcsin (x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x^{2}}$

ステップ 26.2

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \arcsin (x) + 1}{- x^{2} + 1}$

微分積分 例

微分積分例