微分積分例

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} - 1}{h}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} {2.7}^{h} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} {2.7}^{h} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{{2.7}^{lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{2.7}^{lim_{h \to 0} h} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{{2.7}^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 1.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 ${2.7}^{h} - 1$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [{2.7}^{h}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{2.7}^{h}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.3

$a$ = $2.7$ のとき、 $\frac{d}{d h} [a^{h}]$ は $a^{h} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.5

${2.7}^{h} \ln (2.7)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{{2.7}^{h} \ln (2.7)}{1}$

ステップ 1.4

${2.7}^{h} \ln (2.7)$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} {2.7}^{h} \ln (2.7)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\ln (2.7)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\ln (2.7) lim_{h \to 0} {2.7}^{h}$

ステップ 2.2

指数に極限を移動させます。

$\ln (2.7) \cdot {2.7}^{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\ln (2.7) \cdot {2.7}^{0}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\ln (2.7) \cdot 1$

ステップ 4.2

$\ln (2.7)$ に $1$ をかけます。

$\ln (2.7)$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\ln (2.7)$

10進法形式：

$0.99325177 \dots$

微分積分 例

微分積分例