微分積分例

$\sqrt{\arctan (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\arctan (x)}$ を ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\arctan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 8

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 9

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

$2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1

$2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.2

$2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

ステップ 10.4.3

$2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ を $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

微分積分 例

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