微分積分例

$\arcsin (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}} (2 x)$

ステップ 2.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$2$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{1 - x^{4}}} x$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{\sqrt{1 - x^{4}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{4}}}$

微分積分 例