微分積分例

$\arcsin (4 x)$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(4 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $4 (x)$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (16 x^{2})}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.2.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$4$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

微分積分 例