微分積分例

$\sin^{2} (π x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (π x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (π x)$ で置き換えます。

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $π x$ とします。

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

ステップ 3.3

$π$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

ステップ 4.2

括弧を付けます。

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

ステップ 4.3

$2 π$ と $\cos (π x) \sin (π x)$ を並べ替えます。

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

ステップ 4.4

括弧を付けます。

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

ステップ 4.5

$\cos (π x)$ と $\sin (π x) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

ステップ 4.6

$\sin (π x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

ステップ 4.7

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 (π x)) π$

ステップ 4.8

$\sin (2 π x) π$ の因数を並べ替えます。

$π \sin (2 π x)$

微分積分 例

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