微分積分例

$\cot^{2} (\cos (x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cot (\cos (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cot (\cos (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cot (\cos (x))$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$2 \cot (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cot (u_{2})$ の微分係数は $- \csc^{2} (u_{2})$ です。

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cot (\cos (x)) (\csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

ステップ 5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \cot (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6.2

正弦と余弦に関して $\csc (\cos (x))$ を書き換えます。

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (x))})}^{2} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6.5

$2$ と $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))}$ をまとめます。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

ステップ 6.6

正弦と余弦に関して $\cot (\cos (x))$ を書き換えます。

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))} \sin (x)$

ステップ 6.7

まとめる。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \sin (x)$

ステップ 6.8

指数を足して $\sin^{2} (\cos (x))$ に $\sin (\cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 6.8.1

$\sin^{2} (\cos (x))$ に $\sin (\cos (x))$ をかけます。

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ステップ 6.8.1.1

$\sin (\cos (x))$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin^{1} (\cos (x))} \sin (x)$

ステップ 6.8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{{\sin (\cos (x))}^{2 + 1}} \sin (x)$

ステップ 6.8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))} \sin (x)$

ステップ 6.9

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin^{3} (\cos (x))}$

ステップ 6.10

$\sin (\cos (x))$ を $\sin^{3} (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin^{2} (\cos (x))}$

ステップ 6.11

分数を分解します。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$

ステップ 6.12

$\frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$ を $\cot (\cos (x))$ に変換します。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

ステップ 6.13

$\sin (\cos (x))$ を $\sin^{2} (\cos (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

ステップ 6.14

分数を分解します。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

ステップ 6.15

$\frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.16

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.17

簡約します。

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ステップ 6.17.1

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.17.2

$\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ を $\csc (\cos (x))$ に変換します。

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.18

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.19

$\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ を $\csc (\cos (x))$ に変換します。

$\frac{2}{1} \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.20

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.21

$2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x)))$ を掛けます。

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ステップ 6.21.1

$\csc (\cos (x))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.21.2

$\csc (\cos (x))$ を $1$ 乗します。

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc^{1} (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.21.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 {\csc (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x) \cot (\cos (x))$

ステップ 6.21.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$

微分積分 例

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