微分積分例

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 1

$54$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ の微分係数は $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ です。

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 3.3

${(25 - x^{2})}^{2}$ に $1$ をかけます。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 25 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 - x^{2}$ とします。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $25 - x^{2}$ で置き換えます。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2

$25 - x^{2}$ を ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$25 - x^{2}$ を ${(25 - x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2.2

$25 - x^{2}$ を $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ で因数分解します。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 5.2.3

$25 - x^{2}$ を $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ で因数分解します。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$25 - x^{2}$ を ${(25 - x^{2})}^{4}$ で因数分解します。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 7

総和則では、 $25 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 8

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 9

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 11

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 13

$2$ に $2$ をかけます。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 14

$x$ を $1$ 乗します。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 15

$x$ を $1$ 乗します。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17

$1$ と $1$ をたし算します。

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 18

$- x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 19

$54$ と $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 20.2

各項を簡約します。

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ステップ 20.2.1

$54$ に $25$ をかけます。

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 20.2.2

$3$ に $54$ をかけます。

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 20.3

項を並べ替えます。

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例