微分積分例

$5^{- \frac{1}{x}}$

ステップ 1

$f (x) = 5^{x}$ および $g (x) = - \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{1}{x}$ で置き換えます。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3

掛け算します。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3.2

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

ステップ 3.5.2

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ の因数を並べ替えます。

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

ステップ 4.3

$5^{- \frac{1}{x}}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

ステップ 4.4

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ と $\ln (5)$ をまとめます。

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例