微分積分例

$\frac{4}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{1 + x^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x^{2}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$4 (- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 ({(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

ステップ 3.6

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 8 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

ステップ 4.2.3

$x$ と $\frac{8}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 8}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$8$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{8 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

微分積分 例

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