微分積分例

$\frac{4 - \cos (x)}{4 + \sin (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 4 - \cos (x)$ および $g (x) = 4 + \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 - \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(4 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $4 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 4 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$- - \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{4 \sin (x) + 1 - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.5

項を並べ替えます。

$\frac{1 + 4 \sin (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例