微分積分例

$\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = e^{2 x} + 1$ および $g (x) = e^{2 x} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 1] - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $e^{2 x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$2$ を $e^{2 x} - 1$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

総和則では、 $e^{2 x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x} + 0)}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.5

式を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x})}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} + (- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 e^{2 x} e^{2 x}$ から $2 e^{2 x} e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} + 0 - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.1.2

$2 \cdot - 1 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.5.3

$- 2 e^{2 x}$ から $2 e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{- 4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.7

分母を簡約します。

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ステップ 7.7.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1)}^{2}}$

ステップ 7.7.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}^{2}}$

ステップ 7.7.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{x}$ であり、 $b = 1$ です。

$- \frac{4 e^{2 x}}{{((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}^{2}}$

ステップ 7.7.4

積の法則を $(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)$ に当てはめます。

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2} {(e^{x} - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例