微分積分例

${(\arctan (x))}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\arctan (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$2 \arctan (x) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$2 \arctan (x) \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + x^{2}} \arctan (x)$

ステップ 3.2

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ と $\arctan (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

ステップ 3.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

微分積分 例