微分積分例

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ を ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ と $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{2}{{(- x + 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例