微分積分例

$\frac{x^{3} - 6}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} - 6$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{3} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

$3$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 6) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 6

くくりだして簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

ステップ 6.2

$x$ を $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

ステップ 6.2.2

$x$ を $- 2 (x^{3} - 6) x$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

ステップ 6.2.3

$x$ を $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

ステップ 7

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6)}{x^{3}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 6}{x^{3}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 12}{x^{3}}$

ステップ 8.2.2

$3 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{x^{3} + 12}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例