微分積分例

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

ステップ 1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- 7}$ および $g (t) = t^{2} + 11 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} + 11 t$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

ステップ 2.2

$n = - 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} + 11 t$ で置き換えます。

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 7$ に $2$ をかけます。

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

ステップ 3.2

総和則では、 $t^{2} + 11 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ です。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

ステップ 3.4

$11$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $11 t$ の微分係数は $11 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

ステップ 3.6

$11$ に $1$ をかけます。

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 14$ と $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ をまとめます。

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

ステップ 4.3

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

ステップ 4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

ステップ 4.6

$- 1$ に $11$ をかけます。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

ステップ 4.7

分母を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$t$ を $t^{2} + 11 t$ で因数分解します。

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ステップ 4.7.1.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

ステップ 4.7.1.2

$t$ を $11 t$ で因数分解します。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

ステップ 4.7.1.3

$t$ を $t \cdot t + t \cdot 11$ で因数分解します。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

ステップ 4.7.2

積の法則を $t (t + 11)$ に当てはめます。

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.8

$- 2 t - 11$ に $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ をかけます。

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.9

$14$ を $- 2 t - 11$ の左に移動させます。

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.11

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.12

$- 1$ を $- (2 t) - 1 (11)$ で因数分解します。

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.13

$- (2 t + 11)$ を $- 1 (2 t + 11)$ に書き換えます。

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

ステップ 4.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

微分積分 例

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