微分積分例

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [6 t]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{4}{t^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ です。

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

ステップ 4.2

$\frac{1}{t^{2}}$ を ${(t^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

ステップ 4.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2}$ とします。

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $t^{2}$ で置き換えます。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

ステップ 4.5

${(t^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

ステップ 4.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

ステップ 4.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

ステップ 4.7

$t$ を $1$ 乗します。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

ステップ 4.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

ステップ 4.9

$1$ から $4$ を引きます。

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

ステップ 4.10

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

ステップ 5.2

$8$ と $\frac{1}{t^{3}}$ をまとめます。

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$

微分積分 例

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