微分積分例

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{2} - 9}$ を ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ および $g (t) = t^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} - 9$ とします。

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} - 9$ で置き換えます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 8

${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 9.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 6$ をまとめます。

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 11

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

ステップ 14

総和則では、 $t^{2} - 9$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ です。

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

ステップ 16

$- 9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

ステップ 17.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

ステップ 17.3

$- 2$ と $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

ステップ 17.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

ステップ 17.5

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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