微分積分例

$g (t) = t^{2} - \frac{4}{t^{3}}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $t^{2} - \frac{4}{t^{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{4}{t^{3}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ です。

$2 t - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{t^{3}}$ を ${(t^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 t - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{3}$ とします。

$2 t - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}])$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $t^{3}$ で置き換えます。

$2 t - 4 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}])$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t - 4 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2}))$

ステップ 2.5

${(t^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 t - 4 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2}))$

ステップ 2.5.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$2 t - 4 (- t^{- 6} (3 t^{2}))$

ステップ 2.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 t - 4 (- 3 t^{- 6} t^{2})$

ステップ 2.7

指数を足して $t^{- 6}$ に $t^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1

$t^{2}$ を移動させます。

$2 t - 4 (- 3 (t^{2} t^{- 6}))$

ステップ 2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 t - 4 (- 3 t^{2 - 6})$

ステップ 2.7.3

$2$ から $6$ を引きます。

$2 t - 4 (- 3 t^{- 4})$

ステップ 2.8

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$2 t + 12 t^{- 4}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 t + 12 \frac{1}{t^{4}}$

ステップ 3.2

$12$ と $\frac{1}{t^{4}}$ をまとめます。

$2 t + \frac{12}{t^{4}}$

微分積分 例

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