微分積分例

${(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{3}$

ステップ 1

$f (v) = v^{3}$ および $g (v) = v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ のとき、 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ は $f' (g (v)) g' (v)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ で置き換えます。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}]$ です。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

ステップ 2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

ステップ 2.3

$7$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $7 v^{- 2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ です。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

ステップ 2.4

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 (- 2 v^{- 3}))$

ステップ 2.5

$- 2$ に $7$ をかけます。

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

ステップ 3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

ステップ 4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

ステップ 5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 v^{- 3})$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

ステップ 7

項をまとめます。

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ステップ 7.1

$7$ と $\frac{1}{v^{2}}$ をまとめます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

ステップ 7.2

$- 3$ と $\frac{1}{v^{4}}$ をまとめます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (\frac{- 3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

ステップ 7.4

$- 14$ と $\frac{1}{v^{3}}$ をまとめます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} + \frac{- 14}{v^{3}})$

ステップ 7.5

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - \frac{14}{v^{3}})$

微分積分 例

微分積分例