微分積分例

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{t}$ を $t^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{5}}$ を $t^{\frac{5}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 3.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t^{\frac{5}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ です。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{5}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

ステップ 3.7.2

$5$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

ステップ 3.8

$\frac{5}{2}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 3.9

$4$ と $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

ステップ 3.10

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

ステップ 3.11

$2$ を $20 t^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

ステップ 3.12

共通因数を約分します。

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ステップ 3.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

ステップ 3.12.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.12.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

ステップ 3.12.4

$10 t^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ をかけます。

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$

微分積分 例

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