微分積分例

$y = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}}$

ステップ 1

$f (t) = t$ および $g (t) = {(t - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{({(t - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1

${({(t - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(t - 1)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 2.3

${(t - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{2}]}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 3

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = t - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t - 1$ とします。

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $t - 1$ で置き換えます。

$\frac{{(t - 1)}^{2} - t (2 (t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 4.2

$t - 1$ を ${(t - 1)}^{2} - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$t - 1$ を ${(t - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(t - 1) (t - 1) - 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 4.2.2

$t - 1$ を $- 2 t ((t - 1) \frac{d}{d t} [t - 1])$ で因数分解します。

$\frac{(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 4.2.3

$t - 1$ を $(t - 1) (t - 1) + (t - 1) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))$ で因数分解します。

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{{(t - 1)}^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$t - 1$ を ${(t - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{(t - 1) (t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1]))}{(t - 1) {(t - 1)}^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t - 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 6

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{t - 1 - 2 t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 8

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t - 1 - 2 t (1 + 0)}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 9

項を加えて簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{t - 1 - 2 t \cdot 1}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{t - 1 - 2 t}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 9.3

$t$ から $2 t$ を引きます。

$\frac{- t - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ を $- t$ で因数分解します。

$\frac{- (t) - 1}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 10.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (t) - 1 (1)}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 10.3

$- 1$ を $- (t) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 10.4

$- (t + 1)$ を $- 1 (t + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (t + 1)}{{(t - 1)}^{3}}$

ステップ 10.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例