微分積分例

$\tan (\sqrt{3 t})$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 t}$ を ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$3$ を $3 t$ で因数分解します。

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.3

積の法則を $3 (t)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d t} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (t) = \tan (t)$ および $g (t) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3^{\frac{1}{2}}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $t^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 10

$3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ と $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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